The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

Demokrasi hakkında matematik yapan markiz

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet (1743–1794), insan işlerinin fizik kadar titiz bir şekilde akıl yürütülebileceği fikrine en bağlı Aydınlanma inananlarından biriydi. Yirmili yaşlarında Académie des sciences'a seçilen parlak bir matematikçi olan Condorcet, aynı zamanda — kendi yüzyılı ve sınıfı için alışılmadık bir şekilde — ücretsiz kamu eğitimi, kadınların seçme hakkı ve köleliğin kaldırılması gibi konularda erken ve sesli bir savunucuydu. Çağdaşları sıradan insanların yönetmesi gerektiğini tartışırken, Condorcet daha yabancı ve üretken bir soru sordu: onların kolektif yargısı gerçekten doğru olabilmesi için hangi koşullar altında?

Onun cevabı 1785'te Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix adlı eserinde ortaya çıktı — “Çoğunluk Kararlarının Olasılığına Analizin Uygulanması Üzerine Deneme.” Yoğun olasılık hesaplamalarının içinde, şimdi Condorcet Jüri Teoremi olarak bilinen, şaşırtıcı bir basitlik ve güçte bir sonuç bulunmaktadır.

Adamın hikayesi karanlık bir şekilde sona eriyor. Condorcet Devrimi destekledi, bir anayasa taslağı hazırladı ve sonra Terör döneminde başı belaya girdi. 1793'te yasaklandı, Paris'te bir pansiyonda saklandı ve — ölümle yüzleşerek — en iyimser eserini, İnsanın Zihninin Gelişiminin Tarihsel Resmi İçin Taslakı yazdı. Sığınağından kaçtıktan sonra Mart 1794'te tutuklandı ve iki gün sonra Bourg-la-Reine'deki hücresinde ölü bulundu. Kolektif aklın matematikçisi, nedenleri dinlemeyi bırakan bir kolektif tarafından öldürüldü — bu, dönemin hiçbir tarihçisi tarafından göz ardı edilmez.

Teorem, sade bir dille

On sekizinci yüzyıl notasyonunu çıkarın ve teorem şunu söyler:

Doğru bir cevabı olan evet/hayır sorusunu alın. Eğer bir gruptaki her kişi, doğru cevabı alma olasılığı şansa göre daha yüksekse ve her biri bağımsız olarak yargılıyorsa, o zaman çoğunluğun doğru cevabı alma olasılığı grup büyüdükçe artar — ve grup büyüdükçe kesinliğe yaklaşır.

Sezgi hata iptali üzerinedir. Her seçmen sinyal artı gürültüdür. Herkes yanlış yapmaktan daha sık doğru olduğundan, sinyal herkes için aynı yönde işaret ederken, gürültü rastgele dağılır. Bireysel hatalar bağımsız madeni para atışlarıdır; paylaşılan gerçeklik birikir. Çoğunluk oylaması, gürültünün iptal edilmesine ve sinyalin birikmesine izin veren bir makinedir — bu, daha sonra 787 adil katılımcının sığır uzmanlarını kalabalıkların bilgeliği konusunda kolektif olarak daha iyi yargılamasını sağlayan aynı aritmetiktir; tahminler yerine oylara uygulanmıştır.

Sayılar: çoğunlukların ne kadar hızlı akıllandığı

Teoremin gücünü somut sayılarla hissetmek en kolaydır. Her kişi bağımsız olarak bir ikili soruya %60 oranında doğru cevap veriyorsa — makul ama uzmanlıktan uzak. Bir grubun çoğunluğunun doğru cevap verme olasılığı:

60% sütununu aşağıya doğru okuyun: üç kişi bir kişiden ancak biraz daha iyi; on bir kişi anlamlı bir şekilde daha iyi; yüz bir kişi %97.9 oranında doğrudur; beş yüz bir kişi neredeyse hatasızdır. Bireysel yeterliliğin en küçük bir kısmı — %51 sütunu — ölçekle birlikte sürekli olarak birikir: 101 kişilik bir grup için yaklaşık %58, bin seçmen için yaklaşık %74 ve on bin için yaklaşık %98. Orta düzey bireysel yargı, doğru bir şekilde toplandığında, mükemmel kolektif yargı üretir. Bu, teoremin iyimser yüzüdür.

Karanlık ikiz: p'nin bir yarımın altına düştüğü durum

Şimdi %45 sütununu okuyun. Yeterli kalabalıkları neredeyse hatasız yapan aynı matematik, yetersiz kalabalıkları neredeyse hatasız bir şekilde yanlış yapar. Eğer her birey yalnızca %45 oranında doğruysa — bu belirli soruda sistematik olarak yanlış yönlendirilmişse — 101 kişilik bir çoğunluk yalnızca %15.6 oranında doğrudur ve 501 kişilik bir çoğunluk yaklaşık %1 oranında doğrudur. Toplama kötü yargıyı temizlemez; onu yoğunlaştırır. Sistematik bir yanlış anlama paylaşan büyük bir grup, üyelerinin herhangi birinden daha kendinden emin bir şekilde yanlıştır.

Bu, teoremin kalabalık bilgeliği kutlamalarına nadiren girdiği kısmıdır ve keskin bir pratik kenarı vardır. Bir grubun ölçeğinin bir varlık mı yoksa bir yük mü olduğu, üyelerinin o anki soru için %50'lik çizginin hangi tarafında oturduğuna tamamen bağlıdır — bu nedenle yanlış bilgilendirme ve bireysel doğruluğu şekillendiren medya ortamı, kolektif karar verme için bir yan mesele değil, merkezi bir meseledir. Ölçek, ona ne verirseniz onu büyütür.

Varsayımlar — ve kırıldıklarında ne olur

Teorem bir eğer-sonra ifadesidir ve onu uygulamanın ilginç olan her şeyi “eğer” kısmında yaşar. Dört varsayım sonucu taşır:

İki buçuk yüzyıl süren akademik çalışmalar her varsayımı stres testine tabi tuttu. Grofman, Owen ve Feld’in “Gerçekleri arayan on üç teorem” (Teori ve Karar, 1983) sonucu heterojen yeterlilikle hayatta kaldığını gösterdi — seçmenlerin hepsinin aynı doğruluğa sahip olması gerekmez; makul dağılım koşulları altında, bir yarımın üzerindeki ortalama doğruluk yeterlidir. Krishna Ladha (1992) korelasyonu ele aldı ve korelasyonlu oyların garantiyi zayıflattığını, ancak her zaman yok etmediğini buldu: korelasyonlu bir kalabalığın etkili boyutu, başına düşen sayısından daha küçüktür, çünkü kopyalanan oylar yeni bilgi yerine gürültü paylaşımını artırır.

Pratikte, bağımsızlık ilk önce ve en sert şekilde kırılan varsayımdır. Erken görüşler görünür olduğunda, sonraki seçmenler kendi bilgilerini rasyonel olarak göz ardı eder ve takip eder — bir bilgi zinciri — ve herkes aynı birkaç kaynağa başvurduğunda, oylar kopyalanmadan bile korelasyon gösterir. Aynı beslemeyi okuyan bir milyon seçmen, birkaç bağımsız seçmenin yaklaşık bilgi ağırlığını taşıyabilir. Teorem zarif bir şekilde başarısız olmaz; sessizce başarısız olur, grup hala büyük, kendinden emin bir çoğunluk gibi hisseder.

Döngüler: Condorcet'in de bulduğu paradoks

Aynı 1785 Essai ikinci, daha rahatsız edici bir keşif içerir. Üç veya daha fazla seçenekle, çoğunluk tercihleri döngüsel hale gelebilir: bir grup A'yı B'ye, B'yi C'ye ve C'yi A'ya tercih edebilir, her bireyin tercihleri tamamen tutarlı olsa bile. Bu Condorcet paradoksu, “çoğunluğun iradesinin” tutarlı bir sıralama olarak var olmayabileceği anlamına gelir — hangi seçeneğin kazanacağı, oyların alındığı sıraya bağlı olabilir.

Bu çoğunluk kuralındaki çatlak, bir alanın temeli haline geldi. 1951'de Kenneth Arrow bunu imkansızlık teoremi olarak genelleştirdi: hiçbir sıralama tabanlı oylama sistemi, makul adalet koşullarının kısa bir listesini aynı anda karşılayamaz. Sosyal seçim teorisi — oylama sistemlerinin tercihleri nasıl topladığı, jüri yargılarının yargıları ve pazarların inançları nasıl topladığı ile farklıdır — kendi başına döneceğimiz bir konudur. Şimdilik pratik ahlak: jüri teoremi, doğru cevapları olan gerçek sorular üzerinde parlayarak; bir karar, rekabet eden değerler hakkında olduğunda, farklı makineler (ve farklı matematik) uygulanır.

240 yıllık uygulamalar

On sekizinci yüzyıl olasılığı için teorem, oldukça iyi yaşlanmıştır:

Makine öğrenimi uygulaması, teoremin bir metafor değil, mühendislik planı olarak çalıştığını gösterdiği için ikinci bir bakımı hak ediyor. Rastgele orman, her ağacı verilerin ve özelliklerin rastgele bir alt örneği üzerinde kasıtlı olarak eğitir — herhangi bir tek ağacı daha iyi hale getirmek için değil (bu onları daha kötü hale getirir), ama hatalarını daha az korelasyonlu hale getirmek için. Bağımsızlık sağlamak için daha zayıf bireyleri kabul etmek, jüri teoreminin önerdiği tam olarak bu takastır ve topluluğun doğruluğu kazançtır. DAO yönetimi mekanizmaları tasarlayan ekipler, tersine aynı tasarım sorunuyla karşılaşır: token ağırlıklı oylama etkileri yoğunlaştırır ve kamuya açık olarak görünen sayımlar sürüklenmeyi davet eder — her ikisi de etkili jüriyi küçültür.

Teoremin yapamayacağı şeyler — ve oylamadan önce olması gerekenler

Jüri teoremi, bir kararın yaşamındaki bir anı yönetir: bireysel yargıların kolektif bir hükme dönüştüğü toplama adımı. Yukarıda her şey hakkında sessizdir — sorunun nasıl çerçevelendiği, hangi seçeneklerin oylamaya gittiği, seçmenlerin hangi bilgileri gördüğü — ve aşağıda her şey. Kötü çerçevelenmiş bir soruda mükemmel bir şekilde toplanmış bir oy, yanlış bir soruya mükemmel bir cevap verir.

Ayrıca, tasarımı gereği, nedenleri dışlar. Bir oy, şu kadar kişinin A seçeneğini tercih ettiğini kaydeder, asla neden — bu nedenle azınlığın en güçlü itirazı kaybolur, çoğunluğun akıl yürütmesi daha sonra denetlenemez ve grup bir sonraki karar için aktarılabilir hiçbir şey öğrenemez. İşte burada yapılandırılmış tartışma, toplama ile rekabet etmek yerine onu tamamlar. İyi yapılmış işbirlikçi karar verme'de grup önce bağımsız olarak argümanları ortaya çıkarır — teoremin ihtiyaç duyduğu bağımsızlığı koruyarak — sonra bunları açıkça değerlendirir ve ancak o zaman bir araya gelir.

Argumentree tam olarak bu sıranın etrafında inşa edilmiştir. Katılımcılar, kimse odayı sabitlemeden önce bağımsız ve asenkron olarak artı ve eksileri sunar — teoremin yük taşıyan varsayımını koruyarak. Her argüman daha sonra açık boyutlarda (yararlılık, netlik, doğruluk, tamlık) derecelendirilir ve derecelendirmeler uzlaşma puanlarına dönüşür: Condorcet’in hata iptali aritmetiği, yalnızca oyların sayısı değil, nedenlerin kalitesi üzerine uygulanır. Ve bir oy pusulasının aksine, tam argüman ağacı ve denetim izi, grubun neden karar verdiğini korur — böylece karar açıklanabilir, gözden geçirilebilir ve öğrenilebilir. Markiz, bir çoğunluğa güvenmenin matematiğini sağladı; iki yüz kırk yıl sonra, kalan iş, çoğunluğun yargısının bağımsız, bilgilendirilmiş ve kayıtlara geçirilmiş olmasını sağlamaktır.