The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

Marquis wanda ya yi lissafi game da dimokuradiyya

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet (1743–1794), shine mai imani mafi ƙarfi na Enlightenment a ra'ayin cewa al'amuran ɗan adam za a iya yin tunani akansu da tsananin daidaito kamar lissafi. Wani mai lissafi mai haske wanda aka zaɓa zuwa Académie des sciences a cikin shekarunsa na ashirin, har ila yau — ba kamar yadda aka saba a karni na sa da ajin sa ba — wani mai goyon baya na farko da mai magana game da ilimin kyauta na jama'a, hakkin mata, da kuma kawar da bauta. Inda abokan zamansa suka tattauna ko mutane na yau da kullum ya kamata su yi mulki, Condorcet ya tambayi wata tambaya mai ban mamaki da mai amfani: a cikin wane yanayi hukuncin su na tarayya zai kasance daidai?

Amsar sa ta bayyana a cikin 1785 a cikin Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — “Littafin akan Aikace-aikacen Nazari ga Yiwuwa na Yanke Shawarar Mafi Yawa.” An binne a cikin lissafin yiwuwa mai nauyi akwai sakamakon da ke da sauƙin gaske da ƙarfi, wanda yanzu aka sani da Ka'idar Juri ta Condorcet.

Labari na mutum yana ƙarewa da duhu. Condorcet ya goyi bayan Juyin Juya Hali, ya rubuta kundin tsarin mulki, sannan ya fuskanci Tsoron. An haramta shi a cikin 1793, ya ɓoye a wani gidan kwana a Paris kuma — yana fuskantar mutuwa — ya rubuta aikinsa mafi kyawun fata, Sketch for a Historical Picture of the Progress of the Human Mind. An kama shi a watan Maris na 1794 bayan ya tsere daga mafakar sa, an same shi a mutu a cikin kwayar sa a Bourg-la-Reine kwana biyu bayan haka. Mai lissafi na hikimar tarayya an kashe shi ta hanyar taron da ya daina sauraron dalilai — wani ironi da duk wani mai tarihi na wannan lokacin ba ya rasa lura da shi.

Ka'idar, a cikin Ingilishi mai sauƙi

Cire rubutun karni na sha takwas kuma ka'idar tana cewa wannan:

Dauki tambaya mai amsa eh/aa wacce ke da amsa daidai. Idan kowanne mutum a cikin ƙungiya yana da yiwuwar fiye da yiwuwar samun daidai, kuma kowanne yana yanke hukunci a cikin 'yancin kai, to yiwuwar cewa mafi yawan mutane suna samun daidai yana karuwa tare da girman ƙungiyar — kuma yana kusantar tabbaci yayin da ƙungiyar ta zama babba.

Hankali yana da soke kuskure. Kowanne mai kada kuri'a yana da sigina da hayaniya. Saboda kowa yana daidai fiye da kuskure, siginar tana nuna hanya guda ga kowa, yayin da hayaniyar ke bazuwa ba tare da tsari ba. Kuskuren mutum ba su da alaƙa da jujjuyawar kudi; hancin gaskiya yana taruwa. Kada kuri'a mafi yawa kawai wata na'ura ce don barin hayaniya ta soke kuma siginar ta taru — lissafin da ke bayan hikimar taron, wanda daga baya zai sa 787 masu ziyara su yi hukunci fiye da ƙwararrun shanu a cikin gwajin shanu na Galton, wanda aka yi amfani da shi ga kuri'u maimakon kimantawa.

Lambobi: yadda saurin mafi yawan mutane ke samun basira

Karfin ka'idar yana da sauƙin jin daɗi tare da lambobi na zahiri. Ka yi tunanin kowanne mutum yana amsa tambaya mai ma'ana biyu daidai 60% na lokacin — mai kyau amma ba daga ƙwararru ba. Yiwuwa cewa mafi yawan ƙungiyar suna amsa daidai:

Karanta ginshiƙin 60% a ƙasa: mutane uku suna ƙara ƙarancin inganci akan ɗaya; mutane goma sha ɗaya suna da inganci mai ma'ana; mutane dari da ɗaya suna daidai 97.9% na lokacin; mutane dari biyar suna kusan tabbatacce. Ko da ƙaramin ƙwarewar mutum — ginshiƙin 51% — yana taruwa ba tare da tsari ba: kusan 58% don ƙungiya ta 101, kusan 74% a cikin masu kada kuri'a dubu, da kusan 98% a cikin dubu goma. Hukuncin mutum mai rauni, idan aka haɗa daidai, yana haifar da hukuncin tarayya mai kyau. Wannan shine fuskar ka'idar mai kyau.

Gemun duhu: lokacin p ya faɗi ƙasa da rabi

Yanzu karanta ginshiƙin 45%. Lissafin da ke sa taron da ke da ƙwarewa kusan tabbatacce yana sa taron da ba su da ƙwarewa kusan tabbatacce ba daidai ba. Idan kowanne mutum yana daidai kawai 45% na lokacin — an ja hankalinsa a kan wannan tambayar — mafi yawan mutane 101 suna daidai kawai 15.6% na lokacin, kuma mafi yawan mutane 501 kusan 1.2% na lokacin. Haɗawa ba ta wanke mummunan hukunci; tana mai da shi mai yawa. Babban ƙungiya da ke raba kuskuren tsarin za ta zama da tabbaci ba daidai ba fiye da kowanne daga cikin membobinta.

Wannan shine rabin ka'idar da ba ta yawan shiga cikin murnar hikimar taron, kuma tana da ƙarfin aiki mai kaifi. Ko girman ƙungiya yana zama fa'ida ko nauyi yana dogara ne gaba ɗaya akan wane gefen layin 50% membobinta ke zaune don tambayar da ke hannun — wanda shine dalilin da ya sa bayanan karya, da yanayin kafofin watsa labarai da ke tsara daidaito na mutum, ba batun gefe bane ga yanke shawara na tarayya amma shine babban batu. Girman yana ƙara duk abin da ka ba shi.

Sharuɗɗan — da abin da ke karyewa lokacin da suka karye

Ka'idar tana da bayanin idan-sannan, kuma duk abin da ke da ban sha'awa game da aikace-aikacen ta yana cikin “idan.” Sharuɗɗa hudu suna ɗaukar sakamakon:

Shekaru biyu da rabi na bincike sun gwada kowanne sharuɗɗa. Grofman, Owen da Feld’s “Thirteen theorems in search of the truth” (Theory and Decision, 1983) sun nuna cewa sakamakon yana wucewa tare da ƙwarewar bambanta — masu kada kuri'a ba sa buƙatar daidaito iri ɗaya; a ƙarƙashin sharuɗɗan rarraba masu ma'ana, daidaito na matsakaici sama da rabi yana isa. Krishna Ladha (1992) ya magance alaƙa kuma ya gano cewa kuri'un da suka yi daidai suna raunana tabbacin ba tare da koyaushe suna lalata shi ba: ingantaccen girman taron da aka yi daidai yana ƙasa da yawan mutane, saboda kuri'un da aka kwafi suna ƙara raba hayaniya maimakon sabbin bayanai.

A aikace, 'yancin kai shine sharuɗɗan da ke faɗi na farko da mafi wahala. Lokacin da ra'ayoyi na farko suna bayyana, masu kada kuri'a na gaba suna rarraba bayanan su da hankali kuma suna bi — wani guguwar bayanai — kuma lokacin da kowa ya ja daga waɗannan kafofin guda, kuri'u suna da alaƙa ko da ba tare da kowa ya kwafi kowa ba. Masu kada kuri'a miliyan guda suna karanta wannan abun ciki na iya ɗaukar nauyin bayanai na ɗan ƙungiya. Ka'idar ba ta faɗi da kyau; tana faɗi a shiru, yayin da ƙungiyar har yanzu ta ji kamar mafi yawan mutane masu ƙarfi.

Zagaye: sabanin da Condorcet ya gano

Wannan 1785 Essai yana ɗauke da wani bincike na biyu, wanda ya fi damuwa. Tare da zaɓuɓɓuka uku ko fiye, zaɓin mafi yawa na iya zagaye: ƙungiya na iya fifita A akan B, B akan C, kuma har yanzu C akan A, ko da yake duk ra'ayoyin kowane mutum suna da daidaito. Wannan sabani na Condorcet yana nufin “nufin mafi yawan mutane” na iya zama ba ya wanzu a matsayin jerin da aka haɗa — wane zaɓi ya ci nasara na iya dogara da tsarin da aka ɗauki kuri'a.

Wannan rami a cikin mulkin mafi yawa ya zama tushen duk wani fanni. A cikin 1951, Kenneth Arrow ya ƙara shi cikin ka'idar rashin yiwuwa: babu tsarin kada kuri'a na jeri da zai iya gamsar da jerin sharuɗɗan adalci na ma'ana a lokaci guda. Ka'idar zaɓin zamantakewa — yadda tsarin kada kuri'a ke haɗa zaɓuɓɓuka, a matsayin bambanci daga yadda juri ke haɗa hukunci da kasuwanni ke haɗa imani — wani batu ne da za mu dawo gare shi a cikin nasa. A yanzu, darasin aiki: ka'idar juri tana haskaka kan tambayoyi na gaskiya tare da amsoshi daidai; lokacin da yanke shawara ya shafi ƙimomi masu gasa maimakon gaskiya masu gasa, sabbin na'urori (da sabbin lissafi) suna aiki.

Shekaru 240 na aikace-aikace

Don wani yanki na yiwuwar karni na sha takwas, ka'idar ta tsufa da kyau:

Aikace-aikacen koyo na inji yana buƙatar duba na biyu, saboda yana nuna ka'idar tana aiki a matsayin tsari na injiniya maimakon misali. Wani gandun daji na bazuwar yana horar da kowanne itace a kan wani ƙaramin samfurin bayanai da fasali — ba don inganta kowanne itace ba (yana sa su zama mummuna), amma don rage kuskuren su ba su da alaƙa. Karɓar ra'ayoyi masu rauni don sayen 'yancin kai shine daidai ciniki da ka'idar juri ke ba da shawara, kuma daidaiton haɗin gwiwa shine lada. Ƙungiyoyi suna ƙirƙirar hanyoyin gudanarwar DAO suna fuskantar wannan matsalar ƙira a juyawa: kada kuri'a mai nauyi yana mai da tasiri, kuma kididdigar da aka bayyana tana gayyatar taron — duka waɗannan suna rage ingantaccen juri.

Abin da ka'idar ba za ta iya yi ba — da abin da ya kamata ya faru kafin kada kuri'a

Ka'idar juri tana kula da wani lokaci a cikin rayuwar yanke shawara: matakin tarin, lokacin da hukuncin mutum ya zama hukuncin tarayya. Ba ta magana akan komai a sama — yadda aka tsara tambayar, wane zaɓuɓɓuka suka kai ga kuri'a, wane bayani masu kada kuri'a suka gani — da komai a ƙasa. Kuri'a da aka tara da kyau akan tambaya da aka tsara mummuna tana haifar da amsa mai kyau ga mummunan matsala.

Hakanan, ta hanyar ƙira, tana watsi da dalilai. Kuri'a tana rubuta wannan mutane arba'in sun fifita zaɓi A, ba me yasa ba — don haka ƙin juri na ƙungiya yana ɓace, tunanin mafi yawan ba za a iya duba shi ba daga baya, kuma ƙungiyar ba ta koyi komai mai ma'ana don yanke shawara ta gaba. Wannan shine inda tsararren tattaunawa ke ƙara haɗin gwiwa maimakon yin gasa da shi. A cikin yanke shawara na haɗin gwiwa da aka yi da kyau, ƙungiyar tana farko bayyana hujjoji a cikin 'yancin kai — tana kiyaye 'yancin kai da ka'idar ke buƙata — sannan tana kimanta su a fili, sannan kuma tana haɗuwa.

Argumentree an gina shi a kan wannan tsari. Masu halarta suna bayar da hujjoji masu kyau da marasa kyau da 'yancin kai da ba tare da lokaci ba, kafin kowa ya kafa dakin — yana kare sharuɗɗan da ke ɗaukar nauyi na ka'idar. Kowanne hujja an kimanta ta a kan takamaiman ma'auni (amfani, bayyana, daidaito, cikakkun bayanai), kuma kimantawa suna taruwa cikin maki na amincewa: lissafin Condorcet na soke kuskure, wanda aka yi amfani da shi ga ingancin dalilai maimakon kawai yawan kuri'u. Kuma ba kamar akwatin kuri'a ba, cikakken itacen hujja da hanyar duba suna kiyaye dalilin da ya sa ƙungiyar ta yanke shawara — don haka za a iya bayyana yanke shawarar, a sake duba, da kuma koyo daga gare ta. Marquis ya bayar da lissafi don dogaro da mafi yawan mutane; shekaru dari da arba'in bayan haka, aikin da ya rage shine tabbatar da cewa hukuncin mafi yawan mutane yana 'yancin kai, an sanar, kuma a kan rikodin.