در سال 1785، یک مارکیز فرانسوی ثابت کرد که اگر هر عضو یک گروه حتی کمی بیشتر از شانس پرتاب سکه درست باشد، رأی اکثریت گروه تقریباً نادرست نمیشود با بزرگتر شدن گروه. همان ریاضیات معکوس را نشان میدهد: یک جمعیت نادرست بهطور مطمئن و تقریباً قطعاً نادرست میشود. همه چیز به دو شرط بستگی دارد — شایستگی و استقلال.
- قضیه: دقت فردی 60٪ → اکثریت 101 نفر 97.9٪ از اوقات درست است
- دوقلوی تاریک: دقت فردی 45٪ → اکثریت 101 نفر فقط 15.6٪ از اوقات درست است
- فرضیه باربر: استقلال — لنگر انداختن، آبشارها و اتاقهای پژواک تضمین را باطل میکند
- میراث: طراحی هیئت منصفه، نظریه دموکراتیک، یادگیری ماشین جمعی، حاکمیت DAO
مارکیز که درباره دموکراسی ریاضیات انجام داد
ماری ژان آنتوان نیکولا د کاریتات، مارکیز د کاندورسه (1743–1794)، متعهدترین باورمند عصر روشنگری به این ایده بود که امور انسانی میتوانند با همان دقتی که فیزیک دارد، مورد بررسی قرار گیرند. او یک ریاضیدان درخشان بود که در بیست سالگی به آکادمی علوم انتخاب شد و همچنین — بهطور غیرمعمول برای قرن و طبقهاش — یک حامی زودهنگام و صریح آموزش عمومی رایگان، حق رأی زنان و لغو بردهداری بود. در حالی که همعصران او بحث میکردند که آیا مردم عادی باید حکومت کنند، کاندورسه سوالی غریب و سازندهتر پرسید: تحت چه شرایطی قضاوت جمعی آنها واقعاً درست خواهد بود؟
پاسخ او در سال 1785 در رساله درباره کاربرد تحلیل در احتمال تصمیمات گرفته شده با اکثریت آرا ظاهر شد — «رسالهای درباره کاربرد تحلیل در احتمال تصمیمات اکثریت». در محاسبات پیچیده احتمال آن، نتیجهای با سادگی و قدرت شگفتانگیز نهفته است که اکنون به عنوان قضیه هیئت منصفه کاندورسه شناخته میشود.
داستان این مرد به تاریکی میانجامد. کاندورسه از انقلاب حمایت کرد، یک قانون اساسی نوشت و سپس در برابر ترور قرار گرفت. در سال 1793 ممنوع شد، در یک مهمانخانه در پاریس پنهان شد و — در مواجهه با مرگ — کار به شدت خوشبینانهاش، طرحی برای تصویر تاریخی پیشرفت ذهن انسانی را نوشت. در مارس 1794 پس از فرار از پناهگاهش دستگیر شد و دو روز بعد در سلولش در بورگ-لا-رین پیدا شد. ریاضیدان حکمت جمعی توسط جمعیتی کشته شد که دیگر به دلایل گوش نمیداد — یک تناقضی که هیچ تاریخنگاری از آن دوره نمیتواند نادیده بگیرد.
قضیه، به زبان ساده
نوتاسیون قرن هجدهم را کنار بگذارید و قضیه این است:
یک سوال بله/خیر که پاسخ صحیحی دارد را در نظر بگیرید. اگر هر فرد در یک گروه بیشتر از شانس به درست بودن آن تمایل داشته باشد و هر یک بهطور مستقل قضاوت کند، آنگاه احتمال اینکه اکثریت به درستی قضاوت کند با بزرگتر شدن گروه افزایش مییابد — و به قطعیت نزدیک میشود وقتی گروه بزرگ میشود.
شعور در اینجا به معنای لغو خطا است. هر رأیدهنده سیگنال به علاوه نویز است. از آنجا که همه بیشتر از آنکه نادرست باشند، درست هستند، سیگنال برای همه به یک سمت اشاره میکند، در حالی که نویز بهطور تصادفی پراکنده میشود. اشتباهات فردی بهطور غیرهمبسته شبیه پرتاب سکه هستند؛ دانه مشترک حقیقت جمع میشود. رأیگیری اکثریت به سادگی یک ماشین برای اجازه دادن به لغو نویز و جمع شدن سیگنال است — همان حسابی که پشت حکمت جمعی قرار دارد، که بعداً 787 شرکتکننده عادل را بهطور جمعی از کارشناسان دامها در آزمایش گاو گالتون بهتر قضاوت کرد، که به رأیها به جای برآوردها اعمال شد.
اعداد: چقدر سریع اکثریتها هوشمند میشوند
قدرت قضیه را با اعداد ملموس میتوان به راحتی احساس کرد. فرض کنید هر فرد بهطور مستقل 60٪ از اوقات به یک سوال دوتایی به درستی پاسخ میدهد — خوب اما دور از تخصص. احتمال اینکه اکثریت گروه به درستی پاسخ دهد:
| اندازه گروه | دقت فردی 60٪ | دقت فردی 51٪ | دقت فردی 45٪ |
|---|---|---|---|
| 1 | 60.0% | 51.0% | 45.0% |
| 3 | 64.8% | 51.5% | 42.5% |
| 11 | 75.3% | 52.7% | 36.7% |
| 101 | 97.9% | 58.0% | 15.6% |
| 501 | >99.99% | 67.3% | 1.2% |
ستون 60٪ را به سمت پایین بخوانید: سه نفر به سختی از یک نفر بهتر هستند؛ یازده نفر بهطور معناداری بهتر هستند؛ صد و یک نفر 97.9٪ از اوقات درست هستند؛ پانصد و یک نفر تقریباً نادرست نمیشوند. حتی یک ذره شایستگی فردی — ستون 51٪ — بهطور مداوم با مقیاس ترکیب میشود: حدود 58٪ برای یک گروه 101 نفره، تقریباً 74٪ در هزار رأیدهنده و حدود 98٪ در ده هزار. قضاوت فردی متوسط، بهدرستی تجمیع شده، قضاوت جمعی عالی تولید میکند. این چهره خوشبینانه قضیه است.
دوقلوی تاریک: وقتی p زیر نیمه میرود
اکنون ستون 45٪ را بخوانید. همان ریاضیات که جمعیتهای شایسته را تقریباً نادرست نمیکند، جمعیتهای نادرست را تقریباً قطعاً نادرست میکند. اگر هر فرد فقط 45٪ از اوقات درست باشد — بهطور سیستماتیک در این سوال خاص گمراه شده — اکثریت 101 نفر فقط 15.6٪ از اوقات درست است و اکثریت 501 نفر حدود 1.2٪ از اوقات درست است. تجمیع قضاوت بد را شستشو نمیدهد؛ آن را متمرکز میکند. یک گروه بزرگ که یک تصور سیستماتیک مشترک دارد، بهطور قطع نادرستتر از هر یک از اعضای خود خواهد بود.
این نیمه از قضیه به ندرت در جشنهای حکمت جمعی گنجانده میشود و لبه عملی تندی دارد. اینکه آیا مقیاس یک گروه یک دارایی است یا یک مسئولیت بهطور کامل به این بستگی دارد که اعضای آن برای سوال مورد نظر در کدام سمت خط 50٪ نشستهاند — به همین دلیل است که اطلاعات نادرست و محیط رسانهای که دقت فردی را شکل میدهد، مسئله جانبی برای تصمیمگیری جمعی نیست بلکه مسئله مرکزی است. مقیاس هر چیزی را که به آن میدهید تقویت میکند.
فرضیات — و چه چیزی شکسته میشود وقتی که آنها شکسته میشوند
قضیه یک بیانیه اگر-پس است و همه چیز جالب درباره کاربرد آن در "اگر" زندگی میکند. چهار فرضیه نتیجه را حمل میکنند:
یک سوال دوتایی با یک پاسخ درست
این تئوری درباره سوالات واقعی بله/خیر است — گناهکار یا بیگناه، آیا این کار خواهد کرد یا نه. این تئوری هیچ چیزی درباره سوالات خالص ترجیح نمیگوید، جایی که گزینه "درست" برای همگرایی وجود ندارد.
صلاحیت: هر کسی بهتر از پرتاب سکه
هر رأیدهنده باید با احتمال بالای 1/2 درست باشد. کمی بالاتر کافی است — 51% کار میکند. اما اگر رأیدهنده متوسط زیر 1/2 باشد، قضیه به صورت معکوس عمل میکند: اکثریت تقریباً قطعاً اشتباه میشود.
استقلال: رأیها بهطور جداگانه تشکیل شدند
هر قضاوت باید بدون کپیبرداری از دیگران انجام شود. این فرض باربر است — و همان چیزی است که تنظیمات گروهی مدرن بیشتر اوقات آن را نقض میکنند، از طریق لنگر انداختن، آبشارها و منابع اطلاعات مشترک.
رایگیری صادقانه
همه بر اساس قضاوت صادقانه خود رأی میدهند نه به صورت استراتژیک. کمیتهها و رأیدهندگان واقعی این موضوع را به شیوههایی نقض میکنند که نظریه انتخاب اجتماعی از آن زمان به بررسی آن پرداخته است.
دو و نیم قرن پژوهش هر فرضیه را تحت فشار قرار داده است. گروفمن، اوون و فلد در "سیزده قضیه در جستجوی حقیقت" (نظریه و تصمیم، 1983) نشان دادند که نتیجه با شایستگی ناهمگن زنده میماند — رأیدهندگان نیازی به داشتن همان دقت ندارند؛ تحت شرایط توزیع معقول، یک دقت میانگین بالای نیمه کافی است. کریشنا لادها (1992) به همبستگی پرداخت و دریافت که رأیهای همبسته تضمین را تضعیف میکند بدون اینکه همیشه آن را نابود کند: اندازه مؤثر یک جمعیت همبسته کوچکتر از تعداد آن است، زیرا رأیهای کپی شده نویز را به اشتراک میگذارند نه اطلاعات تازه.
در عمل، استقلال فرضیهای است که اول و سختتر از همه شکست میخورد. وقتی نظرات اولیه قابل مشاهده هستند، رأیدهندگان بعدی بهطور منطقی اطلاعات خود را تخفیف میدهند و پیروی میکنند — یک آبشار اطلاعاتی — و وقتی همه از همان چند منبع استفاده میکنند، رأیها حتی بدون اینکه کسی از کسی کپی کند همبسته میشوند. یک میلیون رأیدهنده که همان فید را میخوانند میتوانند تقریباً وزن اطلاعاتی معادل یک دسته از رأیدهندگان مستقل را داشته باشند. این قضیه بهطور زیبا شکست نمیخورد؛ بهطور خاموش شکست میخورد، در حالی که گروه هنوز احساس میکند که یک اکثریت بزرگ و مطمئن است.
چرخهها: پارادوکس کاندورسه که او نیز یافت
همان رساله 1785 شامل یک کشف دوم و نگرانکنندهتر است. با سه یا بیشتر گزینه، ترجیحات اکثریت میتوانند چرخه داشته باشند: یک گروه میتواند A را به B، B را به C و در عین حال C را به A ترجیح دهد، حتی اگر ترجیحات هر فرد کاملاً سازگار باشد. این پارادوکس کاندورسه به این معنی است که "اراده اکثریت" ممکن است به سادگی به عنوان یک رتبهبندی منسجم وجود نداشته باشد — اینکه کدام گزینه برنده میشود میتواند به ترتیب رأیگیری بستگی داشته باشد.
این شکاف در حاکمیت اکثریت پایهگذار یک حوزه کامل شد. در سال 1951، کنت آررو آن را به قضیه غیرممکن خود تعمیم داد: هیچ سیستم رأیگیری مبتنی بر رتبه نمیتواند به طور همزمان یک لیست کوتاه از شرایط انصاف معقول را برآورده کند. نظریه انتخاب اجتماعی — اینکه چگونه سیستمهای رأیگیری ترجیحات را تجمیع میکنند، بهطور متمایز از اینکه چگونه هیئتهای منصفه قضاوتها را تجمیع میکنند و بازارها باورها را تجمیع میکنند — موضوعی است که به آن در حق خود باز خواهیم گشت. در حال حاضر، درس عملی: قضیه هیئت منصفه بر سوالات واقعی با پاسخهای درست میدرخشد؛ به محض اینکه یک تصمیم درباره ارزشهای متضاد به جای حقایق متضاد باشد، ماشینآلات متفاوتی (و ریاضیات متفاوتی) اعمال میشود.
240 سال کاربرد
برای یک قطعه احتمال قرن هجدهم، این قضیه به طرز شگفتانگیزی خوب پیر شده است:
هیئتهای منصفه و قوانین رأیگیری
این تئوری به عنوان ریاضیات هیئت منصفه آغاز شد و هنوز هم به بحثها درباره اندازه هیئت منصفه و اجماع در مقابل آرای اکثریت اطلاع میدهد — چند juror و چه آستانهای، یک رأی نادرست را به طور قابل قبولی غیرمحتمل میسازد.
نظریه دموکراتیک
این تئوری قویترین استدلال رسمی است که تصمیمات بهاشتراکگذاشتهشده میتوانند از نظر شناختی بهتر، نه فقط عادلانهتر باشند — به شرطی که رأیدهندگان آگاه و مستقل باشند. این همچنین هشداری است درباره اینکه تبلیغات و اتاقهای طنین چه تأثیری بر آن ماشینآلات دارند.
یادگیری ماشین جمعی
جنگلهای تصادفی و مجموعههای رأیگیری نظریهای در تولید هستند: بسیاری از یادگیرندههای ضعیف، هر کدام بهتر از شانس و بهطور ناقص همبسته، با رأیگیری اکثریت به یک یادگیرنده قوی تجمیع میشوند. کاهش همبستگی بین مدلها دقیقاً شرط استقلال است که بهطور مهندسی طراحی شده است.
حکمرانی DAO و بلاکچین
رایگیری دارندگان توکن و قوانین حدنصاب مکانیزمهای تجمیع در سنت کاندورسه هستند. این نظریه هم وعده آنها (قضاوتهای مستقل متعدد) و هم آسیبپذیری آنها (نهنگها، تجمع بر روی رایهای اولیه قابل مشاهده، اطلاعات همبسته) را توضیح میدهد.
کاربرد یادگیری ماشین نیاز به نگاهی دوباره دارد، زیرا نشان میدهد که این قضیه به عنوان یک طرح مهندسی کار میکند نه یک استعاره. یک جنگل تصادفی بهطور عمدی هر درخت را بر روی یک زیرمجموعه تصادفی از دادهها و ویژگیها آموزش میدهد — نه برای بهتر کردن هر درخت واحد (که آنها را بدتر میکند)، بلکه برای کمتر همبسته کردن خطاهای آنها. پذیرش افراد ضعیفتر برای خرید استقلال دقیقاً معاملهای است که قضیه هیئت منصفه توصیه میکند و دقت مجموعه پاداش آن است. تیمهایی که در حال طراحی مکانیزمهای حاکمیت DAO هستند با همان مشکل طراحی به صورت معکوس مواجه هستند: رأیگیری مبتنی بر توکن تأثیر را متمرکز میکند و شمارشهای عمومی قابل مشاهده دعوت به گلهسازی میکند — هر دو که اندازه مؤثر هیئت منصفه را کاهش میدهد.
چه چیزی را این قضیه نمیتواند انجام دهد — و چه چیزی باید قبل از رأیگیری اتفاق بیفتد
قضیه هیئت منصفه یک لحظه در زندگی یک تصمیم را مدیریت میکند: مرحله تجمیع، زمانی که قضاوتهای فردی به یک رأی جمعی تبدیل میشوند. این قضیه درباره همه چیز در بالادست ساکت است — اینکه سوال چگونه فرموله شده، کدام گزینهها به رأیگیری رسیدند، چه اطلاعاتی رأیدهندگان دیدند — و همه چیز در پاییندست. یک رأی بهطور کامل تجمیع شده بر روی یک سوال بد فرموله شده پاسخ عالی به مشکل نادرست میدهد.
این قضیه همچنین، بهطور عمدی، دلایل را کنار میگذارد. یک رأی این را ثبت میکند که چهل نفر گزینه A را ترجیح دادند، هرگز چرا — بنابراین قویترین اعتراض اقلیت ناپدید میشود، استدلال اکثریت بعداً قابل حسابرسی نیست و گروه هیچ چیز قابل انتقالی برای تصمیم بعدی نمیآموزد. اینجاست که بررسی ساختاری تجمیع را تکمیل میکند نه اینکه با آن رقابت کند. در تصمیمگیری مشارکتی بهخوبی انجام شده، گروه ابتدا استدلالها را بهطور مستقل مطرح میکند — استقلالی که قضیه به آن نیاز دارد را حفظ میکند — سپس آنها را بهطور علنی ارزیابی میکند و تنها سپس به توافق میرسد.
آرگومنتری دقیقاً بر اساس همین توالی ساخته شده است. شرکتکنندگان استدلالهای موافق و مخالف را بهطور مستقل و ناهمزمان ارائه میدهند، قبل از اینکه کسی اتاق را لنگر بیندازد — حفظ فرضیه باربر قضیه. هر استدلال سپس بر اساس ابعاد مشخص (کمک، وضوح، دقت، کامل بودن) ارزیابی میشود و ارزیابیها به نمرات توافقی تجمیع میشوند: حساب ریاضی کاندورسه که خطاها را لغو میکند، به کیفیت دلایل به جای فقط شمارش رأیها اعمال میشود. و بر خلاف یک صندوق رأی، درخت کامل استدلال و مسیر حسابرسی حفظ میکند که چرا گروه تصمیم گرفت — بنابراین تصمیم میتواند توضیح داده شود، دوباره بررسی شود و از آن آموخته شود. مارکیز ریاضیات را برای اعتماد به اکثریت فراهم کرد؛ دو صد و چهل سال بعد، کار باقیمانده این است که اطمینان حاصل شود قضاوت اکثریت مستقل، آگاه و ثبت شده است.
سوالات متداول
قضیه هیئت منصفه کاندورسه چیست؟
قضیه هیئت منصفه کاندورسه، که توسط مارکیز د کاندورسه در مقاله ۱۷۸۵ خود اثبات شده است، بیان میکند که اگر هر عضو یک گروه که در حال تصمیمگیری درباره یک سوال واقعی دوتایی است، بهطور مستقل با احتمال بیشتر از ۱/۲ درست باشد، آنگاه احتمال اینکه رأی اکثریت درست باشد با افزایش اندازه گروه افزایش مییابد و به قطعیت نزدیک میشود. این پایه ریاضی ادعای این است که گروهها میتوانند در شرایط مناسب از افراد — از جمله کارشناسان — بهتر عمل کنند.
اگر رأیدهندگان بدتر از یک پرتاب سکه باشند چه اتفاقی میافتد؟
این تئوری به صورت معکوس عمل میکند. اگر هر رأیدهنده با احتمال کمتر از 1/2 درست باشد، احتمال اینکه اکثریت درست باشد با بزرگتر شدن گروه به سمت صفر میرود. با دقت فردی 45٪، اکثریت 101 رأیدهنده از این دست تنها حدود 16٪ مواقع درست است و اکثریت 501 رأیدهنده حدود 1٪ مواقع درست است. افزودن افراد بیشتر که به طور سیستماتیک اطلاعات نادرست دارند، جمع را به طور مطمئنتری نادرست میکند — به همین دلیل کیفیت و استقلال قضاوت فردی در مقیاس بیشتر اهمیت دارد، نه کمتر.
مفروضات نظریه هیئت منصفه کاندورسه چیست؟
چهار مورد اصلی: سوال دوتایی است با یک پاسخ صحیح عینی؛ هر رأیدهنده با احتمال بیشتر از 1/2 صحیح است؛ رأیدهندگان به طور مستقل از یکدیگر قضاوت میکنند؛ و همه به طور صادقانه رأی میدهند نه به طور استراتژیک. کارهای بعدی چند مورد از اینها را تسهیل کردند — گروفمن، اوون و فلد (1983) نشان دادند که نسخههایی با شایستگی ناهمگن وجود دارد، و لادا (1992) نشان داد که همبستگی بین رأیها تضعیف میشود اما همیشه نتیجه را از بین نمیبرد. نقض استقلال در عمل بیشترین آسیب را دارد.
پارادوکس کاندورسه چیست؟
کندورسه همچنین کشف کرد که ترجیحات اکثریت میتوانند چرخهای باشند: یک گروه میتواند A را بر B، B را بر C و C را بر A ترجیح دهد، حتی زمانی که هر فرد دارای ترجیحات سازگار باشد. این "پارادوکس کندورسه" نشان میدهد که قاعده اکثریت میتواند در تولید یک رتبهبندی جمعی منسجم با سه یا بیشتر گزینه شکست بخورد و زمینهساز نظریه انتخاب اجتماعی شد — از جمله نظریه عدم امکان آررو در ۱۹۵۱، که این دشواری را به تمام سیستمهای رأیگیری مبتنی بر رتبه تعمیم داد.
کسی که کاندورسه بود؟
ماری ژان آنتوان نیکولا د کاریتا، مارکیز د کوندورسه (۱۷۴۳–۱۷۹۴)، ریاضیدان، فیلسوف و یکی از رادیکالترین اصلاحطلبان روشنگری در فرانسه بود — یک حامی اولیه آموزش عمومی رایگان، حق رأی زنان و لغو بردهداری. در دوران ترور ممنوع شد، او در حین پنهان شدن، طرح خوشبینانهاش برای تصویری تاریخی از پیشرفت ذهن انسان را نوشت، در مارس ۱۷۹۴ دستگیر شد و دو روز بعد در سلولش در بورگ-لا-رین مرده پیدا شد.
قضیه هیئت منصفه کاندورسه چگونه به یادگیری ماشین اعمال میشود؟
روشهای مجموعهای بهطور مستقیم به قضیه اعمال میشوند: ترکیب بسیاری از مدلها که هر کدام بهتر از شانس هستند و بهطور کامل همبسته نیستند، خروجیهای آنها را با رأیگیری اکثریت یا میانگینگیری تجمیع کنید و مجموعه از اعضای خود بهتر عمل میکند. جنگلهای تصادفی بهطور عمدی تصادفی بودن را برای غیرهمبسته کردن درختان تزریق میکنند — یک پیادهسازی مهندسی از شرط استقلال قضیه. همان منطق پیشبینی میانگین و بهطور فزایندهای، مجموعههای عاملهای هوش مصنوعی را پشتیبانی میکند.
آیا نظریه هیئت منصفه کاندورسه اثبات میکند که دموکراسی کار میکند؟
این موضوع چیزی باریکتر و مفیدتر را اثبات میکند: تجمیع بسیاری از قضاوتهای مستقل و بهتر از شانس در مورد سوالات واقعی یک مکانیزم قدرتمند برای اصلاح خطا است. این همچنین شرایط شکست را شناسایی میکند — رأیدهندگان به طور سیستماتیک اطلاعات نادرست دریافت کردهاند (شایستگی زیر ۱/۲) یا از همان منابع و سیگنالهای یکدیگر قضاوت میکنند (استقلال شکسته شده است). این قضیه بهتر است نه به عنوان حکمی درباره دموکراسی بلکه به عنوان یک مشخصه طراحی برای هر گروهی که میخواهد قضاوت جمعیاش قابل اعتماد باشد، خوانده شود.
Argumentree Team
Decision Science
The Argumentree team explores the science of better decisions—from 18th-century mathematics to modern AI.
قضاوتهای تجمیعی — و دلایل را حفظ کنید.
آرگومنتری استدلالهای مستقل را قبل از همگرایی گروه جمعآوری میکند، آنها را بر اساس شایستگیهایشان ارزیابی میکند و مسیر کامل استدلال را در کنار رأی حفظ میکند.
آزمایش رایگان 14 روزه را شروع کنید →مقالات مرتبط
حکمت جمعیتها: گاو گالتون — آزمایش ۱۹۰۶ که ثابت کرد جمعیتها از کارشناسان بهترند
تنوع بر توانایی غلبه میکند: چرا باهوشترین استخدام شما بهترین تصمیمگیرنده شما نیست
هوش جمعی: ۲۴۰ سال تحقیق — از کاندورسه تا هوش مصنوعی
در سراسر اکوسیستمگروههای متمرکز هوش مصنوعی چیستند؟
قضیه هیئت منصفه کاندورسه توضیح میدهد که چرا چندین شخصیت هوش مصنوعی که به طور مشترک بحث میکنند میتوانند بینشهای بهتری نسبت به هر دیدگاه واحد ارائه دهند — ریاضیات پشت شبیهسازی گروه متمرکز هوش مصنوعی.