The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

গণতন্ত্রের বিষয়ে গণিত করা মার্কিস

মারী জিন অ্যান্টোইন নিকোলাস দে কারিতাত, মার্কিস দে কন্ডর্সেট (1743–1794), ছিলেন আলোকিত যুগের সবচেয়ে প্রতিশ্রুতিবদ্ধ বিশ্বাসী যে মানব বিষয়গুলি পদার্থবিজ্ঞানের মতো একই কঠোরতার সাথে যুক্তি করা যেতে পারে। বিশাল প্রতিভাধর গণিতজ্ঞ যিনি তার কিশোর বয়সে অ্যাকাডেমি দে সায়েন্সেসে নির্বাচিত হয়েছিলেন, তিনি তার শতাব্দী এবং শ্রেণীর জন্য অস্বাভাবিকভাবে — মুক্ত পাবলিক শিক্ষা, মহিলাদের ভোটাধিকার এবং দাসত্বের বিলোপের জন্য একটি প্রাথমিক এবং উচ্চস্বরে সমর্থক ছিলেন। যেখানে তার সমসাময়িকরা আলোচনা করতেন যে সাধারণ মানুষ শাসন করা উচিত কিনা, কন্ডর্সেট একটি অচেনা এবং আরও উৎপাদনশীল প্রশ্ন করেছিলেন: কোন শর্তে তাদের সমষ্টিগত বিচার আসলে সঠিক হবে?

তার উত্তর 1785 সালে Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — “বহু সংখ্যাগরিষ্ঠ সিদ্ধান্তের সম্ভাবনার উপর বিশ্লেষণের প্রয়োগের উপর প্রবন্ধ” এ প্রকাশিত হয়। এর ঘন সম্ভাবনা গণনার মধ্যে একটি ফলাফল রয়েছে যা বিস্ময়কর সরলতা এবং শক্তি নিয়ে আসে, যা এখন কন্ডর্সেট জুরি থিওরেম নামে পরিচিত।

মানুষের গল্পটি অন্ধকারে শেষ হয়। কন্ডর্সেট বিপ্লবের পক্ষে সমর্থন করেছিলেন, একটি সংবিধান খসড়া করেছিলেন, এবং তারপর সন্ত্রাসের শিকার হন। 1793 সালে নিষিদ্ধ, তিনি একটি প্যারিসের বোর্ডিং হাউসে লুকিয়ে ছিলেন এবং — মৃত্যুর মুখোমুখি — তার সবচেয়ে আশাবাদী কাজটি লিখেছিলেন, Sketch for a Historical Picture of the Progress of the Human Mind। মার্চ 1794 সালে তার আশ্রয় থেকে পালানোর পর তাকে গ্রেপ্তার করা হয়, এবং দুই দিন পর তাকে বুর্গ-লা-রেইনে তার সেলে মৃত অবস্থায় পাওয়া যায়। সমষ্টিগত জ্ঞানের গণিতজ্ঞকে একটি সমষ্টি হত্যা করেছিল যা যুক্তি শোনানো বন্ধ করে দিয়েছিল — এটি একটি আইরনি যা সময়ের কোনও ইতিহাসবিদ লক্ষ্য করতে ব্যর্থ হয় না।

থিওরেম, সাধারণ ইংরেজিতে

আঠারো শতকের নোটেশন সরিয়ে ফেলুন এবং থিওরেমটি বলে:

একটি হ্যাঁ/না প্রশ্ন নিন যার একটি সঠিক উত্তর রয়েছে। যদি একটি গোষ্ঠীর প্রতিটি ব্যক্তি সঠিকভাবে উত্তর দেওয়ার জন্য সম্ভাবনার চেয়ে বেশি সম্ভাবনাময় হয় এবং প্রতিটি স্বাধীনভাবে বিচার করে, তবে সংখ্যাগরিষ্ঠ সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা গোষ্ঠীর আকারের সাথে বাড়ে — এবং গোষ্ঠী বড় হওয়ার সাথে সাথে নিশ্চিততার দিকে এগিয়ে যায়।

বোধগম্যতা হল ত্রুটি বাতিলকরণ। প্রতিটি ভোটার সংকেত এবং শব্দ। কারণ সবাই ভুলের চেয়ে সঠিক বেশি সময়, সংকেতটি সবার জন্য একই দিকে নির্দেশ করে, যখন শব্দ এলোমেলোভাবে ছড়িয়ে পড়ে। ব্যক্তিগত ভুলগুলি অ-সম্পর্কিত কয়েন ফ্লিপ; সত্যের একটি সাধারণ শস্য জমা হয়। সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোটিং হল কেবল একটি যন্ত্র যা শব্দ বাতিল করতে এবং সংকেত যোগ করতে দেয় — ভিড়ের জ্ঞান এর পিছনে একই গাণিতিক, যা পরে 787 জন মেলা দর্শকদের গরু বিশেষজ্ঞদের তুলনায় সম্মিলিতভাবে বিচার করতে সক্ষম করে গালটনের গরুর পরীক্ষায়, অনুমানগুলির পরিবর্তে ভোটে প্রয়োগ করা হয়।

সংখ্যাগুলি: সংখ্যাগরিষ্ঠরা কত দ্রুত বুদ্ধিমান হয়

থিওরেমের শক্তি কংক্রিট সংখ্যার সাথে অনুভব করা সবচেয়ে সহজ। ধরুন প্রতিটি ব্যক্তি স্বাধীনভাবে একটি বাইনারি প্রশ্নের সঠিক উত্তর 60% সময় দেয় — যথেষ্ট কিন্তু বিশেষজ্ঞের থেকে অনেক দূরে। গোষ্ঠীর সংখ্যাগরিষ্ঠ সঠিকভাবে উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা:

60% কলামটি নিচের দিকে পড়ুন: তিনজন একজনের চেয়ে সামান্য উন্নতি করে; এগারো জন অর্থপূর্ণভাবে ভাল; একশত এক জন 97.9% সময় সঠিক; পাঁচশত এক জন প্রায় ভুলভ্রান্ত। ব্যক্তিগত দক্ষতার একটি সামান্য অংশ — 51% কলাম — স্কেলে অবিরামভাবে সংযোজিত হয়: 101 জনের একটি গোষ্ঠীর জন্য প্রায় 58%, এক হাজার ভোটারের জন্য প্রায় 74%, এবং দশ হাজারের জন্য প্রায় 98%। মধ্যম মানের ব্যক্তিগত বিচার, সঠিকভাবে সংহত করা, চমৎকার সমষ্টিগত বিচার তৈরি করে। এটি থিওরেমের আশাবাদী মুখ।

অন্ধ যমজ: যখন p এক অর্ধের নিচে পড়ে

এখন 45% কলামটি পড়ুন। একই গণিত যা দক্ষ ভিড়কে প্রায় ভুলভ্রান্ত করে, অদক্ষ ভিড়কে প্রায় নিশ্চিতভাবে ভুল করে তোলে। যদি প্রতিটি ব্যক্তি শুধুমাত্র 45% সময় সঠিক হয় — এই নির্দিষ্ট প্রশ্নে পদ্ধতিগতভাবে ভুল বোঝানো — 101 জনের একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ মাত্র 15.6% সময় সঠিক, এবং 501 জনের একটি সংখ্যাগরিষ্ঠ প্রায় 1.2% সময় সঠিক। সংহতি খারাপ বিচারকে পরিষ্কার করে না; এটি কেন্দ্রীভূত করে। একটি বড় গোষ্ঠী যা একটি পদ্ধতিগত ভুল ধারণা ভাগ করে তা তার সদস্যদের চেয়ে আরও আত্মবিশ্বাসীভাবে ভুল হবে।

এটি থিওরেমের সেই অংশ যা ভিড়ের জ্ঞানের উদযাপনে খুব কমই প্রবেশ করে, এবং এর একটি তীক্ষ্ণ ব্যবহারিক প্রান্ত রয়েছে। একটি গোষ্ঠীর আকার একটি সম্পদ বা একটি দায়িত্ব কিনা তা সম্পূর্ণরূপে নির্ভর করে যে সদস্যরা প্রশ্নের জন্য 50% লাইনের কোন পাশে বসে — যা হল ভুল তথ্য, এবং মিডিয়া পরিবেশ যা ব্যক্তিগত সঠিকতা গঠন করে, এটি সমষ্টিগত সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য একটি পার্শ্ব বিষয় নয় বরং কেন্দ্রীয় বিষয়। স্কেল যা কিছু আপনি এটি খাওয়ান তা বাড়িয়ে তোলে।

অনুমানগুলি — এবং যখন সেগুলি ভেঙে যায় তখন কী ভেঙে যায়

থিওরেমটি একটি যদি-তাহলে বিবৃতি, এবং এটি প্রয়োগের বিষয়ে সবকিছু আকর্ষণীয় "যদি" তে বাস করে। চারটি অনুমান ফলাফল বহন করে:

দুই এবং অর্ধশতাব্দীর গবেষণা প্রতিটি অনুমানকে চাপ পরীক্ষা করেছে। গ্রোফম্যান, ওয়েন এবং ফেল্ডের "সত্যের সন্ধানে তেরোটি থিওরেম" (Theory and Decision, 1983) দেখিয়েছে যে ফলাফল বৈচিত্র্যময় দক্ষতা সহ টিকে থাকে — ভোটারদের সকলের একই সঠিকতা প্রয়োজন নেই; যুক্তিসঙ্গত বিতরণ শর্তের অধীনে, 50% এর উপরে গড় সঠিকতা যথেষ্ট। কৃষ্ণ লাধা (1992) সম্পর্কের মোকাবিলা করেছেন এবং দেখেছেন যে সম্পর্কিত ভোটগুলি গ্যারান্টিকে দুর্বল করে কিন্তু সর্বদা এটি ধ্বংস করে না: একটি সম্পর্কিত ভিড়ের কার্যকর আকার তার সদস্য সংখ্যা থেকে ছোট, কারণ অনুলিপি করা ভোটগুলি নতুন তথ্যের পরিবর্তে শব্দ-শেয়ারিং যোগ করে।

বাস্তবে, স্বাধীনতা হল প্রথম এবং কঠোরভাবে ব্যর্থ হওয়া অনুমান। যখন প্রাথমিক মতামত দৃশ্যমান হয়, তখন পরবর্তী ভোটাররা যুক্তিসঙ্গতভাবে তাদের নিজস্ব তথ্যকে ডিসকাউন্ট করে এবং অনুসরণ করে — একটি তথ্য ক্যাসকেড — এবং যখন সবাই একই কয়েকটি উৎস থেকে আঁকেন, তখন ভোটগুলি এমনকি কেউ কাউকে অনুলিপি না করেও সম্পর্কিত হয়। এক মিলিয়ন ভোটার একই ফিড পড়লে প্রায় একদল স্বাধীন ভোটারের তথ্যগত ওজন বহন করতে পারে। থিওরেমটি সুন্দরভাবে ব্যর্থ হয় না; এটি নীরবে ব্যর্থ হয়, যখন গোষ্ঠী এখনও অনুভব করে একটি বড়, আত্মবিশ্বাসী সংখ্যাগরিষ্ঠ।

চক্র: প্যারাডক্স কন্ডর্সেটও আবিষ্কার করেছিলেন

একই 1785 Essai একটি দ্বিতীয়, আরও অস্বস্তিকর আবিষ্কার ধারণ করে। তিন বা ততোধিক বিকল্পের সাথে, সংখ্যাগরিষ্ঠ পছন্দগুলি চক্রাকার হতে পারে: একটি গোষ্ঠী A কে B এর চেয়ে পছন্দ করতে পারে, B কে C এর চেয়ে, এবং তবুও C কে A এর চেয়ে, যদিও প্রতিটি ব্যক্তির পছন্দগুলি সম্পূর্ণরূপে সঙ্গতিপূর্ণ। এই কন্ডর্সেট প্যারাডক্স মানে "সংখ্যাগরিষ্ঠের ইচ্ছা" একটি সঙ্গত র‌্যাঙ্কিং হিসাবে বিদ্যমান নাও থাকতে পারে — কোন বিকল্পটি জিতবে তা ভোট নেওয়ার ক্রমের উপর নির্ভর করতে পারে।

সংখ্যাগরিষ্ঠ শাসনের সেই ফাটল একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ভিত্তি হয়ে উঠল। 1951 সালে, কেনেথ অ্যারো এটি তার অসম্ভবতা থিওরেমে সাধারণীকৃত করেছিলেন: কোন র‌্যাঙ্ক-ভিত্তিক ভোটিং সিস্টেম একসাথে একটি সংক্ষিপ্ত তালিকার যুক্তিসঙ্গত ন্যায়বিচারের শর্তগুলি পূরণ করতে পারে না। সামাজিক পছন্দ তত্ত্ব — কীভাবে ভোটিং সিস্টেমগুলি পছন্দগুলি সংহত করে, কীভাবে জুরিগুলি বিচারগুলি এবং বাজারগুলি বিশ্বাসগুলি সংহত করে তার থেকে আলাদা — একটি বিষয় যা আমরা এর নিজস্ব অধিকার ফিরে আসব। আপাতত, ব্যবহারিক নৈতিকতা: জুরি থিওরেমটি সঠিক উত্তর সহ বাস্তব প্রশ্নগুলিতে উজ্জ্বল; যখন একটি সিদ্ধান্ত প্রতিযোগিতামূলক মানগুলির পরিবর্তে প্রতিযোগিতামূলক তথ্যের বিষয়ে হয়, তখন ভিন্ন যন্ত্র (এবং ভিন্ন গণিত) প্রযোজ্য।

240 বছরের প্রয়োগ

একটি আঠারো শতকের সম্ভাবনার জন্য, থিওরেমটি আশ্চর্যজনকভাবে ভালভাবে বয়সী হয়েছে:

মেশিন লার্নিংয়ের প্রয়োগটি দ্বিতীয়বার দেখার যোগ্য, কারণ এটি থিওরেমটিকে একটি প্রকৌশল নকশার ব্লুপ্রিন্ট হিসাবে কাজ করতে দেখায়, একটি রূপক হিসাবে নয়। একটি র্যান্ডম ফরেস্ট ইচ্ছাকৃতভাবে প্রতিটি গাছকে ডেটা এবং বৈশিষ্ট্যের একটি র্যান্ডম সাবসাম্পলে প্রশিক্ষণ দেয় — কোনও একক গাছকে উন্নত করার জন্য নয় (এটি তাদের খারাপ করে), তবে তাদের ত্রুটিগুলি কম সম্পর্কিত করতে। স্বাধীনতা অর্জনের জন্য দুর্বল ব্যক্তিদের গ্রহণ করা হল ঠিক সেই ব্যবসা যা জুরি থিওরেম সুপারিশ করে, এবং এনসেম্বলের সঠিকতা হল পুরস্কার। DAO শাসন যন্ত্রগুলি ডিজাইন করা দলগুলি বিপরীত দিকে একই ডিজাইন সমস্যার মুখোমুখি হয়: টোকেন-ওজনযুক্ত ভোটিং প্রভাবকে কেন্দ্রীভূত করে, এবং প্রকাশ্যে দৃশ্যমান চলমান tallies গোষ্ঠীকে আমন্ত্রণ জানায় — উভয়ই কার্যকর জুরিকে সংকুচিত করে।

থিওরেমটি কী করতে পারে না — এবং ভোটের আগে কী ঘটতে হবে

জুরি থিওরেম একটি সিদ্ধান্তের জীবনের একটি মুহূর্তকে শাসন করে: সংহতির পদক্ষেপ, যখন ব্যক্তিগত বিচার একটি সমষ্টিগত রায়ে পরিণত হয়। এটি উপরে সবকিছু সম্পর্কে নীরব — প্রশ্নটি কীভাবে ফ্রেম করা হয়েছিল, কোন বিকল্পগুলি ব্যালটে পৌঁছেছিল, ভোটাররা কোন তথ্য দেখেছিল — এবং নিচে সবকিছু। একটি খারাপভাবে ফ্রেম করা প্রশ্নে একটি নিখুঁতভাবে সংহত ভোট একটি ভুল সমস্যার জন্য একটি চমৎকার উত্তর দেয়।

এটি, ডিজাইনের দ্বারা, কারণগুলি বাদ দেয়। একটি ভোট যে চল্লিশ জন ব্যক্তি বিকল্প A কে সমর্থন করেছিলেন তা রেকর্ড করে, কখনও কেন — তাই সংখ্যালঘুর সবচেয়ে শক্তিশালী আপত্তি অদৃশ্য হয়ে যায়, সংখ্যাগরিষ্ঠের যুক্তি পরে নিরীক্ষণ করা যায় না, এবং গোষ্ঠী পরবর্তী সিদ্ধান্তের জন্য কিছুই শিখে না। এখানে গঠনমূলক আলোচনার সাথে সংহতি প্রতিযোগিতা করার পরিবর্তে পরিপূরক হয়। ভালোভাবে সহযোগী সিদ্ধান্ত গ্রহণে, গোষ্ঠী প্রথম স্বাধীনভাবে যুক্তি প্রকাশ করে — থিওরেমের প্রয়োজনীয় স্বাধীনতা সংরক্ষণ করে — তারপর সেগুলি খোলামেলা মূল্যায়ন করে, এবং তারপর কনভার্জ করে।

আর্গুমেন্ট্রি ঠিক সেই ক্রমের চারপাশে নির্মিত। অংশগ্রহণকারীরা স্বাধীনভাবে এবং অ্যাসিঙ্ক্রোনাসলি পক্ষে এবং বিপক্ষে যুক্তি প্রদান করেন, আগে যে কেউ রুমে অ্যাঙ্কর করে — থিওরেমের লোড-বেয়ারিং অনুমানকে রক্ষা করে। প্রতিটি যুক্তি তখন স্পষ্ট মাত্রায় (সাহায্য, স্পষ্টতা, সঠিকতা, সম্পূর্ণতা) রেট করা হয়, এবং রেটিং সম্মতি স্কোরে সংহত হয়: কন্ডর্সেটের ত্রুটি-বাতিলকরণ গাণিতিক, শুধুমাত্র ভোটের গণনার পরিবর্তে কারণগুলির গুণমানের জন্য প্রয়োগ করা হয়। এবং একটি ব্যালট বক্সের বিপরীতে, সম্পূর্ণ যুক্তি গাছ এবং নিরীক্ষা ট্রেইল সংরক্ষণ করে কেন গোষ্ঠী সিদ্ধান্ত নিয়েছে — তাই সিদ্ধান্তটি ব্যাখ্যা করা, পুনরায় পরিদর্শন করা এবং শেখার জন্য। মার্কিস সংখ্যাগরিষ্ঠের উপর বিশ্বাস করার জন্য গণিত সরবরাহ করেছিলেন; দুইশত চল্লিশ বছর পরে, বাকি কাজ হল নিশ্চিত করা যে সংখ্যাগরিষ্ঠের বিচার স্বাধীন, তথ্যপূর্ণ এবং রেকর্ডে রয়েছে।